m+n|mn < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme alle [mm] \(m,n \in \IN [/mm] für die gilt [mm] \((m+n)|mn. [/mm] (Hinweis: Man sollt m und n als Funktionen ganzer Zahlen k, u, v ausdrücken wobei [mm] \ggT(u,v)=1 [/mm] ) |
Hallo!
Durch den Hinweis bin ich drauf gekommen, dass man natürliche Zahlen darstellen kann als [mm] m=\(ux+vy [/mm] mit [mm] \ggT(u,v)=1 [/mm] und passenden x,y.
Hab dann versucht das "teilt" in eine Gleichung zu fassen: [mm] \bruch{m+n}{mn}=z [/mm] eine ganze Zahl. Dann die "Funktionen" eingesetzt mit [mm] x_{1,2 }, y_{1,2}
[/mm]
Damit kam ich nicht wirklich weit. Hab versucht geschickt auszuklammern, dass ich vielleicht kürzen kann, war aber nix.
Kann mir da jemand nen Tipp geben? Und wozu brauche ich noch das k?
vielen Dank schonmal fürs lesen
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme alle [mm]\(m,n \in \IN[/mm] für die gilt [mm]\((m+n)|mn.[/mm]
> (Hinweis: Man sollt m und n als Funktionen ganzer Zahlen k,
> u, v ausdrücken wobei [mm]\ggT(u,v)=1[/mm] )
>
> Hallo!
> Durch den Hinweis bin ich drauf gekommen, dass man
> natürliche Zahlen darstellen kann als [mm]m=\(ux+vy[/mm] mit
> [mm]\ggT(u,v)=1[/mm] und passenden x,y.
Nein, das ist nicht gemeint. Du sollst $m = k u$, $n = k v$ schreiben mit $k = ggT(m, n)$; dann ist $ggT(u, v) = 1$.
Nun uebersetzt sich die Gleichung in $k (u + v) [mm] \mid k^2 [/mm] u v$, also $(u + v) [mm] \mid [/mm] k u v$.
Jetzt ueberleg dir, dass $ggT(u + v, u) = ggT(u + v, v) = 1$ ist; daraus folgt, dass $u + v$ ein Teiler von $k$ sein muss.
LG Felix
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Hi! Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Jetzt brauch ich ja nur noch die Bedingungen für m und n, mir will aber irgenwie nichts handliches einfallen. Vielleicht reicht die Bedingung auch schon, dass (u+v) Teiler von k sein muss?
Ich hab daraus zB als Bedingung, dass $m+n$ Teiler einer Quadratzahl sein muss, das muss dann aber der [mm] ggT(m,n)^{2} [/mm] sein. Das ist ja ziemlich unpraktisch.
Aber alle Ansätze, die ich hab führen immer wieder auf diese Bedingung. Gibt es da überhaupt was besseres?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi! Erstmal danke für die schnelle Antwort.
> Jetzt brauch ich ja nur noch die Bedingungen für m und n,
> mir will aber irgenwie nichts handliches einfallen.
Nun, alle Loesungspaare $(m, n)$ kannst du doch beschreiben als [mm] $\{ (k (u + v) u, k (u + v) v) \mid k, u, v \in \IN \}$ [/mm] (die Bedingung $ggT(u, v) = 1$ kannst du auch noch hinzufuegen, musst du aber nicht).
> Vielleicht reicht die Bedingung auch schon, dass (u+v)
> Teiler von k sein muss?
Ja.
> Ich hab daraus zB als Bedingung, dass [mm]m+n[/mm] Teiler einer
> Quadratzahl sein muss, das muss dann aber der [mm]ggT(m,n)^{2}[/mm]
> sein. Das ist ja ziemlich unpraktisch.
Das versteh ich jetzt nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 12.11.2009 | | Autor: | Vic_Burns |
> Nun, alle Loesungspaare [mm](m, n)[/mm] kannst du doch beschreiben
> als [mm]\{ (k (u + v) u, k (u + v) v) \mid k, u, v \in \IN \}[/mm]
> (die Bedingung [mm]ggT(u, v) = 1[/mm] kannst du auch noch
> hinzufuegen, musst du aber nicht).
Alles klar, dann lass ich das so. Vielen Dank nochmal.
> > Ich hab daraus zB als Bedingung, dass [mm]m+n[/mm] Teiler einer
> > Quadratzahl sein muss, das muss dann aber der [mm]ggT(m,n)^{2}[/mm]
> > sein. Das ist ja ziemlich unpraktisch.
>
> Das versteh ich jetzt nicht.
>
> LG Felix
>
[mm]m+n=ku+kv=k(u+v)[/mm] kann ich umformen (wenn [mm](u+v)|k \Rightarrow k=(u+v)z[/mm] ) zu [mm] m+n=\bruch{k^{2}}{z} [/mm] und [mm] z=\bruch{k^{2}}{m+n}=\bruch{ggT(m,n)^{2}}{m+n}
[/mm]
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